Análise combinatória × probabilidade: quando usar cada fórmula (FGV/FCC)

Combinatória é o tema que mais assusta no Raciocínio Lógico — e quase sempre por um motivo bobo: o candidato não sabe quando a ordem importa. Decidir entre arranjo, combinação e permutação parece difícil, mas se resume a uma única pergunta. Resolvido isso, a fórmula é mecânica.

Este post separa combinatória de probabilidade, dá o macete da ordem e mostra os formatos que FGV e FCC repetem.

O princípio que está embaixo de tudo

Princípio Fundamental da Contagem (PFC): se uma decisão tem m opções e a seguinte tem n opções, o total de possibilidades é m × n.

Exemplo: 3 camisas e 4 calças → 3 × 4 = 12 combinações de roupa.

Muita questão de FCC se resolve só com o PFC, sem fórmula nenhuma. Antes de sair aplicando arranjo, pergunte: dá para multiplicar as etapas diretamente?

A pergunta que decide a fórmula: a ordem importa?

Esta é a chave do tema inteiro:

Pergunta	Ferramenta	Exemplos típicos
A ordem importa?	Arranjo ou Permutação	senha, pódio, fila, cargos diferentes (presidente/vice)
A ordem não importa?	Combinação	comissão, equipe, grupo, escolher k entre n
Usa todos os elementos, em ordem?	Permutação	anagramas, filas com todos, ordenar n pessoas

Macete que cola:

• Pódio, senha, fila, cargo → ordem importa → arranjo/permutação.
• Comissão, equipe, grupo, par → ordem não importa → combinação.

Trocar presidente por vice muda o resultado (ordem importa = arranjo). Trocar dois membros de uma comissão não muda a comissão (ordem não importa = combinação).

As 3 fórmulas

Permutação simples — P(n) = n!

Ordena todos os n elementos.

Anagramas de "AMOR": P(4) = 4! = 24.

Permutação com repetição: divida pelos fatoriais das letras repetidas. "BANANA" = 6! / (3!·2!) = 60 (3 A's, 2 N's).

Arranjo — A(n,p) = n! / (n − p)!

Escolhe p entre n e a ordem importa.

Pódio (ouro/prata/bronze) com 8 atletas: A(8,3) = 8!/5! = 8·7·6 = 336.

Combinação — C(n,p) = n! / [p! · (n − p)!]

Escolhe p entre n e a ordem não importa.

Comissão de 3 entre 8 pessoas: C(8,3) = 8!/(3!·5!) = 56.

Repare: arranjo e combinação partem do mesmo n!/(n−p)!. A combinação só divide a mais por p! — porque "desconta" as ordens que não interessam. Por isso arranjo ≥ combinação sempre.

O material Raciocínio Lógico-Matemático Completo traz um fluxograma visual "a ordem importa?" que leva direto à fórmula certa, com 30 questões FGV/FCC resolvidas e os erros clássicos comentados.

Probabilidade: o caminho básico

Depois de contar, vem a probabilidade. A fórmula raiz é simples:

P(evento) = casos favoráveis / casos possíveis

O resultado vai de 0 (impossível) a 1 (certo), e a soma de todas as probabilidades de um espaço amostral é sempre 1.

Probabilidade de tirar um rei de um baralho de 52: 4/52 = 1/13 ≈ 7,7%.

As 3 regras que caem em prova

1. Evento complementar: P(não A) = 1 − P(A). Quando a banca pergunta "pelo menos um", quase sempre é mais rápido calcular o complementar.
2. Eventos independentes (E / "e"): P(A e B) = P(A) × P(B). Dois dados, duas moedas, etc.
3. Eventos mutuamente exclusivos (OU / "ou"): P(A ou B) = P(A) + P(B). Não podem ocorrer juntos.

Regra geral da união: P(A ou B) = P(A) + P(B) − P(A e B). Se forem exclusivos, o último termo é zero.

Probabilidade condicional

P(A | B) = P(A e B) / P(B) — a probabilidade de A dado que B já ocorreu. FGV cobra isso com frequência crescente desde 2021.

Combinatória dentro da probabilidade

Muita questão "difícil" é só combinação no numerador e no denominador:

Em uma urna com 5 bolas vermelhas e 3 azuis, qual a probabilidade de tirar 2 vermelhas (de uma vez)? Favoráveis: C(5,2) = 10. Possíveis: C(8,2) = 28. P = 10/28 = 5/14.

Reconhecer que "tirar 2 de uma vez" é combinação (ordem não importa) resolve metade das questões de probabilidade da FCC.

As pegadinhas que mais derrubam

1. Usar arranjo quando é combinação (e vice-versa). Sempre pergunte: trocar a ordem muda o resultado?
2. Esquecer a permutação com repetição em anagramas de palavras com letras repetidas.
3. Somar quando deveria multiplicar probabilidades (confundir "e" com "ou").
4. Não usar o complementar em "pelo menos um" — o cálculo direto vira uma soma gigante e o complementar resolve em uma linha.

Como estudar — fecha em 3h

1. Decore o fluxograma da ordem: importa → arranjo/permutação; não importa → combinação.
2. Memorize as 3 fórmulas e por que combinação divide a mais por p!.
3. Fixe as 3 regras de probabilidade (complementar, "e" multiplica, "ou" soma).
4. Resolva 30 questões FGV/FCC misturando contagem e probabilidade.

Combinatória deixa de ser bicho de sete cabeças quando você para de decorar fórmula e passa a decidir pela ordem. O RLM Completo traz o fluxograma, as fórmulas e o banco de questões com cada pegadinha explicada.

O que fazer hoje

1. Liste 5 situações e classifique cada uma: arranjo, combinação ou permutação?
2. Resolva 5 questões de probabilidade usando o complementar.
3. Refaça um cálculo de comissão (combinação) e um de pódio (arranjo) para sentir a diferença.

A ordem manda. Decidiu a ordem, decidiu a fórmula — o resto é conta.