PA e PG: fórmulas, macetes e as pegadinhas de prova

Sequências numéricas assustam mais do que deveriam. Na prática, progressão aritmética (PA) e progressão geométrica (PG) se resumem a uma pergunta: cada termo aparece somando algo ou multiplicando algo? Responda isso e metade da questão já está resolvida.

Este é um assunto de alto retorno: cai em quase todo edital com RLM, as fórmulas são poucas e as pegadinhas são sempre as mesmas. Vamos estudar com os olhos.

A diferença que decide tudo: soma ou multiplicação?

	Progressão Aritmética (PA)	Progressão Geométrica (PG)
Como anda	soma uma razão r	multiplica por uma razão q
Exemplo	2, 5, 8, 11, 14… (r = 3)	2, 6, 18, 54… (q = 3)
Como achar a razão	r = a₂ − a₁	q = a₂ ÷ a₁

Regra de ouro: PA você subtrai dois termos vizinhos; PG você divide dois termos vizinhos. Se a diferença for constante, é PA. Se a divisão for constante, é PG.

As 6 fórmulas que resolvem quase tudo

Você não precisa decorar dez fórmulas. Precisa destas seis — três de PA, três de PG.

Progressão Aritmética

1. Termo geral:

aₙ = a₁ + (n − 1) · r

2. Soma dos n primeiros termos:

Sₙ = (a₁ + aₙ) · n / 2

3. Termo médio (numa PA, cada termo é a média dos vizinhos):

aₖ = (aₖ₋₁ + aₖ₊₁) / 2

Progressão Geométrica

4. Termo geral:

aₙ = a₁ · q⁽ⁿ⁻¹⁾

5. Soma dos n primeiros termos (com q ≠ 1):

Sₙ = a₁ · (qⁿ − 1) / (q − 1)

6. Soma da PG infinita (só quando −1 < q < 1):

S∞ = a₁ / (1 − q)

Grave a lógica, não só o símbolo: no termo geral você dá "n − 1" passos a partir do primeiro termo — some r na PA, multiplique por q na PG. É por isso que aparece (n − 1) e não n.

O macete da soma da PA (o "truque de Gauss")

Conta a lenda que Gauss, ainda criança, somou 1 + 2 + 3 + … + 100 em segundos. Ele percebeu que o primeiro + último = segundo + penúltimo = 101, e que existem 50 pares desses. Logo: 50 × 101 = 5.050.

É exatamente a fórmula Sₙ = (a₁ + aₙ) · n / 2 em ação:

S = (1 + 100) · 100 / 2 = 101 · 50 = 5.050

Sempre que a banca pedir "a soma dos primeiros n termos", visualize os pares se fechando das pontas para o meio. Você não soma termo a termo — você emparelha as pontas.

Passo a passo numa questão típica de PA

Numa PA, o 1º termo é 4 e a razão é 6. Qual a soma dos 20 primeiros termos?

1. Ache o último termo (a₂₀): a₂₀ = 4 + (20 − 1) · 6 = 4 + 19 · 6 = 4 + 114 = 118
2. Aplique a soma: S₂₀ = (4 + 118) · 20 / 2 = 122 · 10 = 1.220

Dois passos. Termo geral primeiro, soma depois. Esse encadeamento resolve a maioria das questões de PA.

Passo a passo numa questão típica de PG

Numa PG, o 1º termo é 3 e a razão é 2. Qual é o 6º termo?

a₆ = 3 · 2⁽⁶⁻¹⁾ = 3 · 2⁵ = 3 · 32 = 96

A sequência é 3, 6, 12, 24, 48, 96 — confira contando os dobros. O expoente é 5, não 6, porque do 1º ao 6º termo você multiplica por 2 apenas cinco vezes. É a pegadinha nº 1 da PG.

A PG infinita que parece impossível (mas dá um número exato)

Qual a soma de 10 + 5 + 2,5 + 1,25 + … infinitamente?

Como q = 1/2 (está entre −1 e 1), a soma converge:

S∞ = a₁ / (1 − q) = 10 / (1 − 1/2) = 10 / (1/2) = 20

Contra a intuição, somar infinitos números pode dar um valor finito. É clássico de FGV e FCC. Só vale quando o módulo da razão é menor que 1 — se q for 2, 3 ou −5, a soma infinita não existe (dispara para o infinito). Marcar "soma infinita" quando |q| ≥ 1 é cair na armadilha.

As 5 pegadinhas que as bancas repetem

1. O "n − 1" que vira n. No termo geral, o número de passos é sempre um a menos que a posição. Trocar isso erra o termo por uma razão inteira.
2. Razão negativa na PA. Se r < 0, a PA é decrescente (10, 7, 4, 1, −2…). A fórmula é a mesma; muda só o sinal.
3. Razão fracionária na PG. q = 1/3 gera uma PG decrescente (81, 27, 9, 3…). Não confunda "diminuir" com "ser PA".
4. Soma infinita com |q| ≥ 1. Só converge com −1 < q < 1. Fora disso, não aplique a fórmula 6.
5. Termo médio. Três termos em PA: o do meio é a média aritmética dos vizinhos. Três em PG: o do meio ao quadrado é o produto dos vizinhos (b² = a · c). Bancas adoram dar o termo do meio e pedir os outros.

Como fixar isso de forma visual

O erro clássico do concurseiro é encarar progressão como "decoreba de fórmula". Não é. É padrão visual: PA sobe/desce em degraus iguais (uma reta); PG cresce/encolhe em escala (uma curva). Quando você enxerga a sequência, escolher a fórmula certa vira reflexo.

No RLM Visual cada tipo de progressão tem seu infográfico: a fórmula, o macete de Gauss, a árvore de decisão "somou ou multiplicou?" e a pegadinha da banca em uma página só. São 70 subtópicos de raciocínio lógico-matemático — de proposições a combinatória, probabilidade e matemática financeira — mais 100 questões CESPE/FGV/FCC comentadas para você errar no treino e acertar na prova.

Progressão não é o assunto difícil da prova. É o assunto rápido — desde que você tenha as 6 fórmulas na ponta da caneta e reconheça a pegadinha antes dela te reconhecer.